Objectifs
- Garantir une meilleure cohérence entre le cours de physique et la définition de la dérivée qui sera abordée en spécialité mathématiques de première puis en spécialité physique-chimie en terminale.
- Harmoniser les méthodes de détermination et de tracé des vecteurs vitesse entre les classes de seconde et première spécialité.
Constats
Dans le cas d’un mouvement non rectiligne, l’approximation de la « méthode du point voisin » peut donner :
- une direction du vecteur vitesse assez éloignée de la tangente à la trajectoire. La méthode centrée donne par ailleurs une meilleure estimation en termes de direction, c’est pourquoi elle est encore souvent utilisée.
- la direction du vecteur variation de vitesse peut s’avérer très éloignée de celle de la somme des forces puisque son tracé dépend fortement des directions des deux vecteurs-vitesse utilisés.
Remarques :
- Dans le cas des mouvements rectilignes, la méthode centrée ne présente pas d’avantage sur la méthode du point voisin.
- En classe de seconde le programme spécifie de « caractériser un mouvement rectiligne uniforme ou non uniforme ». Les études quantitatives se limitent donc aux mouvements rectilignes en seconde.
- Il est à noter qu’en spécialité de première les élèves auront à « tester la relation approchée entre vecteur variation de vitesse et somme des forces ». La notion d’approximation est un objectif explicite.
Solution proposée
Pour déterminer graphiquement un vecteur vitesse d’après des positions enregistrées – chronophotographie – on peut réaliser et rendre explicite les approximations suivantes :
- Pour la valeur du vecteur vitesse : appliquer la méthode du point voisin et réaliser le calcul numérique $v_i = \dfrac{\mathrm{M}_i \mathrm{M}_{i+1}}{t_{i+1}-t_{i}}$.
- Pour la direction du vecteur vitesse : appliquer la définition « le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire », cela revient à estimer la direction de la tangente comme la parallèle à la corde $\left( \mathrm{M}_{i-1} \mathrm{M}_{i+1} \right)$.
Quelles que soient les approximations [1] réalisées pour tracer le vecteur vitesse, les rendre explicites auprès des élèves dès la classe de seconde peut aider à lever des biais (contradiction des relations employées dans les manuels par exemple).
Justifications
- Pour l’élève, la vitesse se détermine entre un point de départ et d’arrivée. Il n’est pas nécessaire d’avoir connaissance d’un point antérieur.
- La notion de dérivée n’est pas étudiée en mathématiques en seconde mais cette définition permet d’anticiper le lien avec la limite du taux de variation : $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ quand $h$ tend vers $0$ (programme de première).
- Cette approche fait aussi le lien avec la définition du vecteur vitesse donnée en spécialité physique-chimie de terminale comme la dérivée du vecteur position par rapport au temps. Cette définition impose que la direction du vecteur vitesse soit tangente à la trajectoire.
Progressivité de la notion de vitesse en cinématique du point
| Contenus du programme | Unités Ordre de grandeur Mesure de la valeur de la vitesse |
|---|---|
| Expressions littérales | $v = \dfrac{d}{t}$ |
| Contenus du programme | Relation entre vitesse, distance et durée Approche qualitative de la dimension vectorielle |
|---|---|
| Expressions littérales | $v = \dfrac{d}{\Delta t}$ |
| Contenus du programme | Définition vectorielle de la vitesse (vecteur déplacement) Représentation du vecteur vitesse Principe d’inertie Contraposée (amorce du PFD) |
|---|---|
| Expressions littérales | Approximation : $\overrightarrow{v_i} = \dfrac{\overrightarrow{\mathrm{M}_i \mathrm{M}_{i+1}}}{\Delta t}$ |
| Contenus du programme | Vecteur variation de vitesse Colinéarité avec la somme des forces → relation approchée de la deuxième loi de Newton |
|---|---|
| Expressions littérales | $\Delta \overrightarrow{v_i} = \overrightarrow{v_{i+1}} - \overrightarrow{v_i}$ Relation approchée : $\sum \overrightarrow{F} \approx m \cdot \dfrac{\Delta \overrightarrow{v}}{\Delta t}$ |
| Contenus du programme | Vecteur position, vitesse et accélération (équations horaires) Deuxième loi de Newton |
|---|---|
| Expressions littérales | Définition : $\overrightarrow{a} = \dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{v(t)}}{\mathrm{d}t}$ Définition : $\overrightarrow{v(t)} = \dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{OM}(t)}}{\mathrm{d}t}$ $\sum \overrightarrow{F_\mathrm{ext}} = m \cdot \overrightarrow{a}$ |
Ressources
- Programmes de physique-chimie et de mathématiques
- La notion de vitesse dans les nouveaux programmes de physique-chimie : lien avec les mathématiques – Isabelle Tarride, IA-IPR de physique-chimie